Pascal Üçgeni

Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.
Kümenin Eleman Sayısı:

s(A)=0…………………………………….. ……………1
s(A)=1…………………………………….. …………1…..1
s(A)=2…………………………………….. …….1…..2…..1
s(A)=3…………………………………….. ..1…..3…..3…..1
s(A)=4……………………………………1. ….4…..6…..4…..1
s(A)=5………………………………..1….. 5…..10….10…..5….1 …

 

Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.Örneğin; s(A)=4 …………..1…..4…..6…..4…..1
s(A)=5……….1…..5…..10…..10…..5…..1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
0 elemanlı alt kümesi{} 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1 tane

s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,….alt kümelerinin sayısını gösterir.
Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı……….10……….(s(A)=5’in satırında 4. sayı)
4 elemanlı……….5……….(s(A)=5’in satırında 5. sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)

 

Binom Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.

(a+b)5=?

Katsayılar 1 5 10 10 5 1
A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1
B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6

(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5

*(5x-3y)2=?

Katsayılar 1 2 1
5x’in kuvvetleri 25×2 5x 1
-3y’nin kuvvetleri 1 -3y 9y2
(5x-3y)2= 25×2 -2.5x.3y +9y2= 25×2 –30xy +9y2

Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir.

Matematik nedir - Matematik ve Yaşam - Matematiğin önemi

(1) Bütün bilimlerin temeli ve kaynağıdır
(2) Din, dil, ırk ve ülke tanımından uygarlık boyunca zenginleşen, sağlam kullanışlı evrensel bir dil ve kültürdür.
(3) İnsanların ortak düşünce aracıdır.
(4) Ölçülebilen nicelikler bilimidir.
(5) Şekil, sayı, çoklukların özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri inceleyen bilimdir.
2) Matematiğin Konusu: Düşünebildiğimiz büyüklükteki sayılar ile düşünebildiğimiz
boyutlu şekiller matematiğin temel konusudur. Bunların dışında ölçü, kuvvet ve gök cisimlerinin hareketi de matematiğin konusudur.
3) Matematiğin Amacı: Matematikte tek amaç yoktur. Ancak önemli amaçlardan birisi insandaki doğuştan var olan düşünebilme yeteneğini geliştirebilmektir. Matematik karşılaştığımız olayları ve problemleri inceleme ve araştırma yapmak suretiyle doğruyu bulmamızı sağlar.
4) Matematiğin Önemi: Matematiğin önemi tartışılmaz. Çoğu bilimlerden matematiği soyutladığımız (çıkardığımız) taktirde o bilimler bilim olma kimliğini kaybeder. Matematiğin dili akıldır. Diğer bilimler, gözlenen olayları nicel bir şekilde ifade etmeye başlayınca matematikten yardım alır. Onun için bütün bilimlerin geniş kapısı matematiktir.
5) Matematiğin Uygulama Alanları: Matematik uygulama alanları özet olarak;
a) Doğa olaylarını açıklamak
b) Temel bilimlerle
c) Teknolojinin her türlü mühendislik dalında
d) Biyoloji, tıp, eczacılık, tarım, gıda vb. gibi alanlarda
e) Ticaret, ekonomi, işletme, endüstri, maliye ve yönetim gibi alanlarda
f) Devlet ve kurum yönetiminde
g) Askeri amaçlarla
Matematiğin Faydası Nedir?
1. Doğru hüküm vermeyi sağlar.
2. Bilimsel düşünme yollarını öğrenip uygulamayı gerçekleştirir.
3. Pozitif düşünce (müspet düşünce) ilkesini benimsetir.

MATEMATIKTE NE YAPILIYOR ?

Matematikte,aksiyomlardan hareket edilerek teoremler ispatlanır.Buna göre,matematiği başka bir biçimde aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz:
"Matematik,nesnel geçeklikten (yani,aksiyomlar yada aksiyomlar yardımıyla ispatlanmış teoremlerden) hareketle gene nesnel gerçekliği anlamak,onu biçimlendirmek için soyutlanan kavramlar ve bu kavramlar arasındaki ilişkilerdir."
Bu tanım günlük hayatta yaşadığımız, resim yada müzik yapmak,tartışmaya girmek gibi pek çok olay için geçerlidir. Bu nedenle, matematik ,sanatta,edebiyatta,hukukta yani,yaşamın her alanında kullanılan yöntemlerin bir sistematiğidir.Sistematiğidir diyoruz çünkü,günlük hayatta "kuraldışı" olmasına karşın,matematikte "kuraldışı" yoktur.Matematikte kuraldışı olmadığı için,doğrulardan hareket edilerek doğrular bulunur.
Hemen akla şu soru gelir:doğrulardan hareket edilerek her iddia ispat edilebilir mi? Bu mümkün değildir. Çünkü,ispat edilemeyen pek çok iddianın varlığını biliyoruz.Acaba,yanlışlardan hareket edilerek her iddia ispat edilebilir mi? Bunun için ,bilinen hikayeyi hemen anlatalım:
Betrand Russel'a takılmak için sorarlar : "1=2 kabul edersek,sen Papa olduğunu ispat edebilir misin?" Cevap,
- Beni Papa ile aynı odaya kapatın. Odada kaç kişi var?
- 2 kişi
- Ama 1=2 dir. O halde,ben Papayım.


MATEMATİK VE YAŞAM
Yaşamımızın bazı bölümlerinde kıskacından bir türlü kurtulamadığımız matematikçin yaşamımızdaki yeri, matematiğin yaşama uygulanabilir yönleri nedir? Bu sorular çoğaltılabilir.
Yaşamımızda mühendislik, tıp, temel bilimler ve hatta sosyal bilimlerde matematik temel unsurdur. Ancak matematik eğitiminde matematiğin sevdirilmesi esastır. Matematikten korkan öğrencilere, matematiği benimseyecekleri bir ruh yapısının kazandırılması esastır. Bunun için matematiği öğreticilerin yaratıcı olmaları, eğitim düzeni, kitapların ve sınav programlarının buna uygun olması gerekir.
Matematik öğretmenleri, yetenekli ve matematiğe yatkın öğrenciler dışında kalanlara, matematiği başarabileceklerini, diğer öğrencilerin kendilerinden çok üstün olmadıklarını, beraberce bu işi başarabileceklerine inandırmaları, onlara en üst düzeyde rehberlik yapmaları gerekir.
Belki bu durumdaki her öğrenciye matematik sevdirilemez. Ancak kazanılan her öğrenci matematik için olumlu puandır. Matematik belirli bir psikolojik hazırlıkla kavranılabilir. Toplam kültürün matematik dünyasının gelişmesine katkıda bulunmalı, kendi başına düşünebilen, kendine güvenebilen, yaratıcı olabilen özgür insanlar yetiştirebilmelidir.
Matematiği gerektiği gibi yaşamayan toplumlar bilimi, sanatı, günlük yaşamı Sağlıklı bir şekilde yaşayamazlar.
Matematik Fiziğin temeli olmuştur. Matematik olmadan fizikte araştırmalar yapılamaz.
Bilimin hayatımızdaki yeri ne kadar önemli ise, matematiğin bilimin içindeki yerde o kadar önemlidir.
Bilim ve teknoloji dışında matematiğin yaşamımızda yeri var mıdır?
Yaşamımızın farklı alanlarının matematiği varsa bunları keşfetmek, matematiği seven insanlara düşmektedir.

MATEMATİK

Matematiğin amacı; insanların doğuştan getirdiği düşünme kabiliyetini geliştirmektir. Bu gelişmeyi sağlamak için, bizlere bir kısım bilgiler kazandırarak karşılaşacağımız olay ve problemlerde inceleme, araştırma ve karşılaştırmalar yaptırarak, düzenli ve dikkatli olmamızı, mantıklı düşünmemizi ve her konuda doğruyu bulmamızı sağlar. Problemleri çözerken değişik bağlantıları bulmak insana heyecan verir. Böylece insanda yeni şeyler bulma arzusu doğar. Bütün bilimlerin doğması ve gelişmesi insandaki bu arzudan doğmuş bu da matematik yardımıyla olmuştur. Bu sebeple bütün bilim dallarında matematikten yararlanılır. Matematik nitelikleri değil nicelikleri konu edinir, fakat niteliği bulunan herşeyin sayılabilir ve ölçülebilir olması, matematiğin fen bilimleri ve teknolojinin yanında değil sosyal bilimlerde de vazgeçilmez olmasını sağlamıştır. Bu yüzden matematik her öğrencinin öğrenmesi gereken bir bilimdir.

Matematiği niçin öğreniyoruz?
Ezberciliğe dayalı bilgi aktarımının esas alındığı geleneksel eğitim, günümüzde çocukların zihnini körelten bir mekanizma haline gelmiştir. Okulun asli görevi, çocuklara nasıl öğrenileceğini öğretmektir. Bugün okullarda yeni bilgi ile mevcut bilgiyi bütünleştirerek anlama, sentez yapabilme, bilgileri yorumlayabilme gibi beceriler değil; bilgiyi kitaptaki gibi öğrenme ve ezberleme gibi etkinliklere yer verilmektedir. Bunun sonucu olarak öğrencilerimizin çoğunluğu matematiğin gerçek manasını anlayamamakta ve "matematiği niçin öğreniyoruz?", "bu dersin bana faydası nedir?", günlük hayatta uygulaması nasıl oluyor?" gibi ifadeler kullanmaktadırlar.
İnsanlığın gelişmesine paralel olarak bilimde ve teknikte hızlı ilerlemeler olmuştur. Zamanla gelişen ticaret ilişkileri sonucu para, ölçü, zaman, alan, hacim vb. gibi kavramlar ortaya çıkmıştır. Fizik, kimya, biyoloji, mühendislik, astronomi, ekonomi ve psikoloji gibi bütün bilim dalları esaslarını geliştirmek ve sonuçlandırmak için matematiğin temel kurallarına uymak zorundadırlar. Bilim adamları, binlerce bilgiyi küçük bir bilgisayara programlama ve istenildiğinde bilgilere anında ulaşmada matematiğin gücünden faydalanırlar. İnsanlar günlük hayatlarında ihtiyaçlarını karşılarken matematik ve öteki bilimlerden faydalanırlar. Matematik bilimi insanda sistemli ve doğru düşünme yeteneğini geliştirmeyi amaçlar. O halde matematik, farkına varmasak da hayatımızın her aşamasında yer almaktadır.

Matematiği nasıl öğrenmeliyiz?
Matematik küçük yaşlarda verilen iyi bir temel bilgiyle öğrenilir, fakat bu demek değildir ki matematik ileriki yaşlarda da öğrenilmesin. Bu süreç ne kadar geciktirilirse öğrenme de o kadar zor olacaktır. Temel problem de buradan kaynaklanmaktadır. Öğrencilerimizin büyük çoğunluğu temel bilgileri zamanında alamadığından matematik hakkında önyargıya kapılıp, bu dersin zor olduğunu ve öğrenilemeyeceğini düşünmektedir. Temeli olmasa dahi matematik belirli bir düzeyde herkes tarafından öğrenilebilir. Bunun için ilk şart, matematiğin öğrenilebilirliğini kabul etmek ve o ders hakkındaki önyargıları bir kenara bırakmaktır. Matematiği öğrenmede öğretmenin rolü çok önemlidir. Bu dersi sevdirmek ve öğrenciyi belli bir düzeye getirmek öğretmenin görevidir, fakat unutulmamalıdır ki öğrenmede aktif olan, öğrenci olmalı ve herşeyi öğretmenden beklememelidir. Öğrenci kendisini ne kadar zorlar ve öğretmeni sadece yol gösterici olarak görür ve o yolda kendisinin ilerlemesi gerektiğini bilirse sonuca da o kadar çabuk ulaşır. Aksi taktirde öğretmenin ön plana çıktığı durumlarda öğretmen olmayınca öğrenme ve ilerleme de olmayacaktır. Genelde öğrenciler kolaycılığa kaçarak her şeyin çözümünü öğretmenden beklemekte, öğretmenin anlattıklarını anlamakla sonuca ulaşabileceğini zannetmektedirler. Halbuki anlamak ile yapmak çok farklı şeylerdir.
Bir problemi çözebilmek için önce o konu problem tipleri hakkında belli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardır. O birikimi oluşturmadan çözülen sorular anlaşılsa dahi başka problemleri yapmada güçlük çekilecektir. Bu durum kişinin kendisini kandırmasıdır, soruyu algıladığını zannetmesidir. Bilgi beyne gitmiştir, fakat kalıcı olmamıştır. O yüzden konunun kalıcı olmasını ve problem tiplerinin beyne yerleşmesini sağlamak gerekmektedir. Bunu yapmak için de öğretmenin yaptığı çözümlü örneklerin tekrar tekrar incelenmesi, bıkmadan usanmadan soruların çözümlerine önce bakarak sonra cevabı kapatarak bir kez daha çözülmeleri gerekmektedir. Bu yöntem uygulanırsa artık o konu hakkında beynimizde belli bir birikim sağlanacak, artık başka sorular da yapılabilecektir. Değişik sorular çözerken öncelikle basit sorulardan başlanmalı konunun iyice pekişmesi sağlanmalıdır. Bir soru çözülemiyorsa pes edilmemeli, tekrar tekrar çözmeye uğraşılmalıdır. Unutulmamalıdır ki çözümüne zor ulaşılan sorular veya uğraşmanıza rağmen çözülemeyen sorular size çok şey katacaktır. Siz farkında olmadan konunun genel tekrarını yapmakta değişik durumları düşünerek bilgilerinizi sağlamlaştırmaktasınızdır. Son noktada yine çözülemeyen sorular soruyu çözen arkadaşlarınızla irtibata geçerek çözümlenmelidir. Hiçbir arkadaşınız çözememiş ise artık bu soru için öğretmeninize başvurabilirsiniz. Bu şekildeki bir çaba sizin hazırcı olmadığınızı göstererek gayretinizi ortaya koyacak ve kendinize güven duymanızı sağlayacaktır.
Öğrencilerin en büyük problemlerinden bir tanesi de unutma olayıdır. Temeli sağlam olmayan bir öğrenci, bir konuyu öğrense dahi çalışmaya ara verir, geri besleme yapmazsa o konuyu çok çabuk unutacaktır. Bu yüzden her konuyu gündeminizden eksik etmeyin ve geri besleme yaparak muhakkak konularla ilgili tekrar örnekleri yapın.
ÖSS de matematikten gelen sorular LİSE 1 ağırlıklı olup, temel konuları kapsamaktadır. Bu sınav sisteminde, bilgiden ziyade bilgiyi yorumlama ve temel kavramlar üzerinde durulmaktadır. Bu sebeple konuları belirli düzeyde öğrenir, konuların temel problem tiplerini kavrar ve bu öğrendiklerinizi unutmazsanız, sınavda başarılı olmanız mümkün değildir. Temeli iyi olan öğrenciler soru hazinelerini artırmak için daha çok pratik yapmalıdırlar. Temeli iyi olmayan öğrenciler ise ilk önce çok soru çözmek yerine belirli konularda belirli soru tiplerini öğrenmeli, daha sonra değişik soru çözümlerine başlamalıdırlar.
Matematik dersini ne kadar sever ve ne kadar çok ilgilenirseniz başarı o kadar çabuk gelir. Unutmayınız ki matematiğin size çok şey katacağını kabul etmeniz, başarılı olmanızda ilk adım olacaktır. Düşünen ve araştıran bir insan olmanız temennisiyle...

Yaş Problemleri Testi ve Çözümleri

1. Yaşları 2,3 ve 4 sayıları ile orantılı olan 3 kardeşin yaşları çarpımı, yaşları toplamının 24 katıdır. Büyük kardeş kaç yaşındadır? A) 8      B) 12      C) 16      D) 20      E) 24

2.  Üç kişinin yaşlarının ortalaması 20 dir. En büyük olan 25 yaşında olduğuna göre, ortancanın yaşı en az kaç olabilir? (Yaşlar tamsayıyı göstermektedir) A) 16      B) 17      C) 18      D) 19      E) 20

 

3.  Ali'nin yaşı, Cem ile Zeynep'in yaşları toplamının 2 katına eşittir. Ali şimdiki yaşının 4 katına geldiğinde, Cem ile Zeynep'in yaşları toplamı, Ali'nin yaşının kaç katına eşit olur?  A) 13/8      B) 2      C) 3      D) 15/7      E) 4

4.  Ahmet "a" yaşında iken Mehmet "b" yaşında idi. Ahmet "c" yaşına geldiğinde Mehmet kaç yaşında olur?  A) b+a-c      B) b+c-a      C) c+a-b D) a+b-2c     E) c-a

5.  Deniz, Figen'den 4 yaş küçüktür ve Figen Oya'dan 3 yaş büyüktür. İki yıl önce üçünün yaşları toplamı 11 olduğuna göre, Figen'in şimdiki yaşı kaçtır?  A) 10      B) 9      C) 8      D) 7      E) 6

6.  Bir babanın yaşı, ikişer yıl ara ile doğmuş 3 çocuğunun yaşları toplamına eşittir. Baba 42 yaşında olduğuna göre, en büyük çocuk doğduğunda babanın yaşı kaçtı?  A) 22      B) 24      C) 26      D) 28      E) 30

7.  Bir bisikletli 2 tam 1/2 saatte 70 kilometre yol gidiyor. Aynı yolu 3/4 saat az zamanda alabilmesi için hızını ne kadar arttırmalıdır?   A) 28      B) 16      C) 14      D) 12      E) 8

8.  Bir babanın yaşı, üç çocuğunun yaşları toplamının 4 katıdır. 5 yıl sonra 3 çocuk ve babanın yaşları toplamı 80 olacağına göre, baba kaç yaşındadır?   A) 40      B) 44      C) 48      D) 52      E) 56

9.  Bir baba ile oğlunun şimdiki yaşları toplamı 50 dir. 5 yıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katı olacağına göre, babanın şimdiki yaşı kaçtır?   A) 40      B) 41      C) 42      D) 43      E) 44

10.  Bir baba ile iki çocuğunun yaşları toplamı 60 tır. Büyük kardeş küçüğün 3 katı ve babaları ise iki çocuğunun yaşları toplamının iki katı yaşındadır. Babanın yaşı kaçtır?   A) 48      B) 40      C) 36      D) 34      E) 32

11.  İki kardeşin yaşları toplamı, yaşları farkının 3 katına eşittir. 6 yıl sonra yaşlarının toplamı, yaşlarının farkının 5 katına eşit olacağına göre, büyük olan bugün kaç yaşındadır?   A) 36      B) 18      C) 12      D) 9      E) 8 Yaş Problemleri

12.  8 yıl sonraki yaşı, 2 yıl önceki yaşının iki katı olacak olan bir çocuk kaç yaşındadır?   A) 12      B) 13      C) 14      D) 15      E) 16

 

13. Üç kardeşin yaşlarının ortalaması 16 dır. En küçük kardeşin yaşı, şimdiki yaşının 3 katına ulaştığında bu üç kardeşin yaşlarının ortalaması 40 olmaktadır. Buna göre en küçük kardeşin şimdiki yaşı kaçtır? A) 19      B) 17      C) 16      D) 14      E) 12

14.  İki yıl önce annenin yaşı, kızının yaşının 4 katı idi. 8 yıl sonra ise 2,5 katı olacaktır. Annenin şimdiki yaşı kaçtır? A) 38      B) 40      C) 42      D) 45      E) 50

15.  Bir anne çocuğundan 21 yaş büyüktür. 4 yıl önce annenin yaşı, çocuğunun yaşının 4 katı idi. Buna göre çocuk bugün kaç yaşındadır?  A) 7      B) 9      C) 10      D) 11      E) 12

16.  Bora'nın 2 yıl sonraki yaşı, Özgen'in 4 yıl önceki yaşının 5 katıdır. İkisinin bugünkü yaşları toplamı 20 ise Bora kaç yaşındadır?  A) 10      B) 11      C) 12      D) 13      E) 14

17.  3 er yıl ara ile doğan 5 kardeşin yaşları toplamı 65 ise, en küçük kardeş kaç yaşındadır? A) 3      B) 4      C) 5      D) 6      E) 7

18.  Ahmet'in yaşı, Mehmet'in yaşının 2 katıdır. 10 yıl önce her ikisinin yaşları toplamı Ahmet'in şimdiki yaşına eşit olduğuna göre, Mehmet'in şimdiki yaşı kaçtır?  A) 60      B) 56      C) 40      D) 36      E) 20

19.  Bir baba ile ikişer yıl arayla doğan iki çocuğunun yaşları toplamı 82 dir. 2 yıl sonra babanın yaşı büyük çocuğun yaşının 2 katından 2 fazla olduğuna göre, küçük çocuk kaç yaşındadır?   A) 14      B) 16      C) 18      D) 20      E) 22

20.  İki kardeşin bugünkü yaşları oranı 3/4 tür. 10 yıl sonra iki kardeşin yaşları oranı, 8/9 olacağına göre, kardeşlerin bugünkü yaşları toplamı kaçtır?  A) 7      B) 14      C) 21      D) 28      E) 35

21.  İki kardeşten büyüğünün yaşı, küçüğünün yaşının 4 katıdır. Küçük, büyüğün yaşına geldiğinde, ikisinin yaşları toplamı 44 olacağına göre, büyük kardeş kaç yaşındadır?   A) 8      B) 12      C) 16      D) 20      E) 24

22.  n yıl önce Tolga x yaşındaydı. r yıl önce kaç yaşındaydı?   A) x+n+r      B) x-n+r      C) n-x+r D) x+n-r      E) x-n-r

23.  Yaş ortalaması 14 olan bir gruba, her biri 23 yaşında olan 3 kişi katılıyor. Oluşan yeni grubun yaş ortalaması 17 ise ilk grup kaç kişidir?   A) 6      B) 7      C) 8      D) 9      E) 10

24.  Bir babanın yaşı, 4 çocuğunun yaşları toplamından 4 eksiktir. Çocukları yaşları toplamı 45 ise, kaç yıl önce babanın yaşı, çocukların yaşları toplamının 2 katı idi?   A) 5      B) 6      C) 7      D) 8      E) 9

CEVAPLAR;  1-B,  2-C,  3-A,  4-B,  5-C,  6-A,  7-A,  8-C,  9-D,  10-B,  11-C,  12-A,  13-A

14-C,  15-D,  16-D,  17-E,  18-E,  19-C,  20-B,  21-C,  22-D,  23-A,  24-C

Kartezyen Çarpım nedir?

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.

A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.

A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.

A ¹ B ise, A x B ¹ B x A dır.

 KARTEZYEN ÇARPIMININ 

ÖZELLİKLERİ

i) s(A) = m ve s(B) = n ise

s(A x B) = s(B x A) = m . n dir.

ii) A x (B x C) = (A x B) x C

iii) A x (B È C) = (A x B) È (A x C)

iv) (B È C) x A = (B x A) È (C x A)

v) A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)

vı) A x Æ = Æ x A = Æ

vıı)

D. BAĞINTI

A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.

Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.

b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} dir.

s(A) = m ve s(B) = n ise,

A dan B ye 2^m.n tane bağıntı tanımlanabilir.

A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.

s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m . n) bağıntı sayısı

b Ì A x B olmak üzere,

b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} bağıntısının tersi

b^-1 Ì B x A dır.

Buna göre, b bağıntısının tersi

b^-1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır.

E. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ

b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

1. Yansıma Özelliği

A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) 

 b ise, b yansıyandır.

"x Î A için, (x, x) Î b® b yansıyandır.

2. Simetri Özelliği

b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.

"(x, y) Î b için (y, x) Î b ® b simetriktir.

b bağıntısı simetrik ise b = b^-1 dir.

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n2 - n) dir.

3. Ters Simetri Özelliği

b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.

b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özelliğini bozmaz.

4. Geçişme Özelliği

b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

"[(x, y) Î b ve (y, z) Î b] için (x, z) Î b ise,

     

          olmalı

b bağıntısının geçişme özelliği vardır.

F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ

1. Denklik Bağıntısı

b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır. b denklik bağıntısı ve (x, y) Î b ise, x denktir. y ye denir.

x º y biçiminde gösterilir.

b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.

–a biçiminde gösterilir.

Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,

–a = {y : y Î A ve (a, y) Î b} olur.

2. Sıralama Bağıntısı

A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa bağıntı sıralama bağıntısıdır.

 

Denklem Kurma Problemleri

Bir soruyu çözmek için verilen zamanın % 75 ini soruyu anlamaya, % 17 sini çözme yolunu oluşturmaya % 8 ini de soruyu çözmeye ayırmalısınız.

Buna göre, soruları çözerken;

1) Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur. 2) Verilenler matematik diline çevrilir. 3) Denklem çözme metodları ile matematik diline çevrilen denklem çözülür. 4) Bulunanın, soru cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir.     MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir. 1) Herhangi bir sayı x olsun. Sayının a fazlası : x + a dır. Sayının a fazlasının yarısı : Sayının yarısının a fazlası : Sayının küpünün a eksiği : x3 – a dır. 2) Herhangi iki sayı x ve y olsun. Bu iki sayının toplamının a katı : a . (x + y) dir. Bu iki sayının kareleri toplamı : x2 + y2 dir. Bu iki sayının toplamının karesi : (x + y)2 dir. 3) Ardışık tam sayılardan en küçüğü x olsun. Ardışık üç tam sayının toplamı : x + (x + 1) + (x + 2) dir. Ardışık üç çift sayının toplamı : x + (x + 2) + (x + 4) tür. C. KESİR PROBLEMLERİ a, b Î Z ve b ¹ 0 için ye kesir denir.  Herhangi bir sayı x olsun. Bu sayının sı : Bu sayının sının b fazlası : Bu sayısı kadar artırılırsa : Bu sayının si ile sinin toplamı : D. YAŞ PROBLEMLERİ Bir kişinin yaşı x ise, T yıl önceki yaşı : x – T T yıl sonraki yaşı : x + T olur.  Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır.  İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı değildir.  İki kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2T artar.  n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n . T artar. E. İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ Bir işi; A işçisi tek başına a saatte, B işçisi tek başına b saatte, C işçisi tek başına c saatte yapabiliyorsa;  A işçisi 1 saatte işin sını bitirir.  A ile B birlikte t saatte işin sini bitirir.  A, B, C birlikte t saatte işin sini bitirir. Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir. A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa, Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür. A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor. Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun. Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte sini doldurur. Bu havuzun dolması için b > a olmalıdır. F. HAREKET PROBLEMLERİ V : Hareketlinin hızı x : Hareketlinin V hızıyla t sürede aldığı yol t : Hareketlinin V hızıyla x yolunu alma süresi ise,   Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket ederlerse karşılaşma süresi   Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket ederlerse karşılaşma süresi yine   Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket ederlerse arkadaki aracın (V1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi     Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı büyük olan aracın hızı küçük olan aracı yakalama süresi yine   Eşit zamanda V1 ve V2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı, Belirli bir yolu V1 hızıyla gidip V2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı, G. YÜZDE PROBLEMLERİ A sayısının % a sı : A nın % a sı ile B nin % b sinin toplamı : A ya A nın % a sı eklenirse : A dan A nın % a sı çıkarılırsa : H. FAİZ PROBLEMLERİ F : Faiz miktarı A : Ana para (Kapital) n : Yıllık faiz oranı t : Kapitalin faizde kalma süresi olmak üzere, t yılda, t ayda, t günde, Faize yatırılan para her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faize bileşik faiz denir. Buna göre, A TL yıllık bileşik faiz oranı % n olan bir bankaya yatırılıyor. t yıl sonra I. KARIŞIM PROBLEMLERİ   A kabında, tuz oranı % A olan x litrelik tuzlu su çözeltisi ile B kabında tuz oranı % B olan y litrelik tuzlu su çözeltisi, boş olan C kabında karıştırılırsa oluşan x + y litrelik karışımın tuz oranı ® Tuz oranı % A olan tuzlu su çözeltisinin su oranı % (100 – A) dır

Karmaşık Sayılar - Çözümlü Sorular

 

1)   (i²⁷+i²⁴+3i¹²⁵+i¹⁵²):i+1  ifadesinin eşiti nedir?

 

 ÇÖZÜM:  27:4⇒kalan 3

         24:4⇒kalan 0

         125:4⇒kalan 1

         152:4⇒kalan 0 dır.

(ݲ⁷+i²⁴+3i¹³⁵+i¹⁵²):i+1 = (i³+iº+3i¹+iº):i+1

(-i+1+3i+1) :i+1=(2+2i):1+i ⇒2 olur.

 

2)  [(1-i)⁷.(1+i)⁷]:32 =? 

 

ÇÖZÜM:  ⇒ [(1-i)(1+i)]⁷:32= (1²-i²)⁷:32

             (1-(-1))⁷:32  ⇒2⁷:2⁵ =2²=4

 

3)  z=[(√3̅+i)(3-√7̅i )(√5̅-2i)]/(6+2√7̅i)  o.g. z kar. Sayısının mutlak değeri nedir?

 

ÇÖZ: |z| = [|√3̅+i|.|3-√7̅i||√5̅-2i|]/|6+2√7̅i|

         √4̅.√1̅6̅.√9̅  / √6̅4̅ ⇒ 2.4.3./8 =3

 

4)  (2+i)‾² + (2-i)‾²  işleminin sonucu nedir?

 

ÇÖZÜM:   1: (4+4i-4) + 1: (4-4i-4) ⇒ (3-4i+3+4i) / (3+4i)(3-4i)= 6/25

 

5)  (1+i)²º + (1-i)²º =?

 

ÇÖZÜM:   (1+2i-1)¹º+(1-2i-1)¹º

           (2i)¹º + (-2i)¹º

           ⇒2.(2i)¹º =2.2¹º.i¹º=2¹¹.i²

           ⇒-2¹¹=-2048

 

6)  [(1+i)/(1-i)]⁴⁸=?

 

ÇÖZÜM:  [(1+2i-1)/2]⁴⁸ = (2i/2)⁴⁸ =0

 

7)  (3-5i)/10+5i sayısının reel kısmı nedir?

 

ÇÖZÜM:  (3-5i)(10-5i)/(10+5i)(10-5i)

        (30-15i-50i-25)/125

        ⇒(1-13i) / 25         ⇒1/25 + 13i/25  

        reel kısım =1/25 tir.

 

8)  Z = 1/(2+İ) + 1/(-2+İ) ise im(z̅)değeri nedir?

 

ÇÖZÜM:   Z=(2-i)/(2+i)(2-i)+ (-2-i)/(-2-i)(-2+i)

         Z= (2-i-2-i)/5

         Z=-2i/5  olduğundan z̅ =2i/5 bulunur

          Öyleyse im(z̅)=2/5 tir.

 

9)     ⁶√-̅6̅4̅.⁵√-̅̅̅3̅2̅̅ .√̅-̅9̅ =?

 

ÇÖZÜM:  ⁶√̅2̅⁶̅.̅i̅⁶̅.⁵√̅2̅⁵̅i̅¹̅̅º̅.√̅3̅²̅i̅²̅

            2.i.2.i².3.i. = 12i⁴=12

 

10) Z=√3̅ - i  ise (z̅)‾¹ sayısının sanal kısmı nedir?

 

ÇÖZÜM:  z̅=√3̅+i dir.

        (z̅)‾¹ = 1/(√3̅+i) ⇒ (√3-i)/4  =√3̅/4 - i/4 olur

        yani im(z̅)‾¹ =-1/4 bulunur

 

9)      p(x) =x³+x-1 olduğuna göre P(√-̅4̅ ) işleminin sonucu nedir?

 

ÇÖZÜM:  √-̅4̅ =2i

P(2i) = (2i)³+2i-1= -8i+2i-1 = -1-6i dir.

 

10)  13+ [(2-3i)(3-2i)/i] =?

 

ÇÖZÜM:  13+ (6-4i-9i-6)/i  ⇒ 13+ (-13i)/i =13-13=0

 

11)  f(x,y) =2x +3y+3/x+2/y olduğuna göre f(i³,-i³) nedir?

 

ÇÖZÜM:  i³=-i ve –i³=-(-i) =i oluğundan

         F(i,-i) = 2(-i)+3i+3/-i +2/i

         = i+3i-2i=2i

 

12)  Z= x+yi o.ü. z̅ ,z nin eşleniğidir. (1-i)⁴.z̅=1+2i eşitliğini sağlayan z sayısının imajiner kısmı kaçtır?

 

ÇÖZÜM:  (1-i)⁴.z̅=1+2i ise  z̅ (1+2i)/4i²=1+2i/-4             

                  =1/4-1i/2 bulunur. z̅=-1/4-1i/2 eşitliğinden

                  z=-1/4 +i/2 bulunur.    İm(z)=1/2

 

13)  Z=x+yi o.ü. Z +|Z| =2+3i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının reel kısmı nedir?

 

ÇÖZÜM:  x+yi+√̅x̅²̅+̅y̅²̅= 2+3i

   X+√̅x̅²̅+̅y̅²̅=2 ve y=3 olmalıdır.

   X=-5/4 bulunur.

    Re(z) =-5/4

 

14) z=x+yi o.ü. 3z+2i=z̅-3 eşitliği veriliyor .|z| =?

 

 ÇÖZÜM:  3(x+yi)+2i=x-3i-yi

         3x=x-3   ve    3y +2 =-y

           x= -3/2  ve y=-1/2 bulunur.

           Z=-3/2-i/2 dir    |z|= √1̅0̅ / 2

 

15) [(1+i)(1-i)]⁸ + 8. [(1+√3̅i)/(1/√3̅i̅)] toplamı nedir?

 

 ÇÖZÜM:  [(1+2i-1)/(2]⁸ +8.[(-2+2√3̅i̅)/4]

          i⁸+8[(-1+√3̅i̅)/2] = 1-4+4√3̅i̅

          =-3+4√3̅i̅

18)  Z= x+yi karmaşık sayısının eşleniği z̅ dir                     

     (1-i).z̅ =1+3i eşitliğini sağlayan  z kar. Sayısının sanal kısmı nedir?

 

ÇÖZÜM:  z̅_x-yi     (1-i) .z̅ =1+3i

           z̅= (1+i+3i-3)/2   ⇒-1+2i  ise 

           z= -1-2i den im(z) = -2 olur.

 

19) A=√̅-̅6̅4̅ , B=√-̅1̅9̅6̅   , c=√̅-̅4̅9̅     olduğuna göre (A+B).C=?

 

ÇÖZÜM:  (√-̅6̅4̅+√̅̅-̅1̅9̅6̅) .√̅̅̅-̅̅4̅9̅̅

        (8i+14i).7i       ⇒   22i.7i    =154i² =-154

 

20) [(1+i)⁴+(1-i)⁴]/ [(1+i)⁴(1-i)⁴ =?

 

ÇÖZÜM:  [(1+2i-1)² + (1-2i-1)²]/2⁴

             (4i²+4i²)/2⁴ = [2³.(-1)]/2⁴ = -1/2 olur