Karmaşık Sayılar - Çözümlü Sorular

 

1)   (i²⁷+i²⁴+3i¹²⁵+i¹⁵²):i+1  ifadesinin eşiti nedir?

 

 ÇÖZÜM:  27:4⇒kalan 3

         24:4⇒kalan 0

         125:4⇒kalan 1

         152:4⇒kalan 0 dır.

(ݲ⁷+i²⁴+3i¹³⁵+i¹⁵²):i+1 = (i³+iº+3i¹+iº):i+1

(-i+1+3i+1) :i+1=(2+2i):1+i ⇒2 olur.

 

2)  [(1-i)⁷.(1+i)⁷]:32 =? 

 

ÇÖZÜM:  ⇒ [(1-i)(1+i)]⁷:32= (1²-i²)⁷:32

             (1-(-1))⁷:32  ⇒2⁷:2⁵ =2²=4

 

3)  z=[(√3̅+i)(3-√7̅i )(√5̅-2i)]/(6+2√7̅i)  o.g. z kar. Sayısının mutlak değeri nedir?

 

ÇÖZ: |z| = [|√3̅+i|.|3-√7̅i||√5̅-2i|]/|6+2√7̅i|

         √4̅.√1̅6̅.√9̅  / √6̅4̅ ⇒ 2.4.3./8 =3

 

4)  (2+i)‾² + (2-i)‾²  işleminin sonucu nedir?

 

ÇÖZÜM:   1: (4+4i-4) + 1: (4-4i-4) ⇒ (3-4i+3+4i) / (3+4i)(3-4i)= 6/25

 

5)  (1+i)²º + (1-i)²º =?

 

ÇÖZÜM:   (1+2i-1)¹º+(1-2i-1)¹º

           (2i)¹º + (-2i)¹º

           ⇒2.(2i)¹º =2.2¹º.i¹º=2¹¹.i²

           ⇒-2¹¹=-2048

 

6)  [(1+i)/(1-i)]⁴⁸=?

 

ÇÖZÜM:  [(1+2i-1)/2]⁴⁸ = (2i/2)⁴⁸ =0

 

7)  (3-5i)/10+5i sayısının reel kısmı nedir?

 

ÇÖZÜM:  (3-5i)(10-5i)/(10+5i)(10-5i)

        (30-15i-50i-25)/125

        ⇒(1-13i) / 25         ⇒1/25 + 13i/25  

        reel kısım =1/25 tir.

 

8)  Z = 1/(2+İ) + 1/(-2+İ) ise im(z̅)değeri nedir?

 

ÇÖZÜM:   Z=(2-i)/(2+i)(2-i)+ (-2-i)/(-2-i)(-2+i)

         Z= (2-i-2-i)/5

         Z=-2i/5  olduğundan z̅ =2i/5 bulunur

          Öyleyse im(z̅)=2/5 tir.

 

9)     ⁶√-̅6̅4̅.⁵√-̅̅̅3̅2̅̅ .√̅-̅9̅ =?

 

ÇÖZÜM:  ⁶√̅2̅⁶̅.̅i̅⁶̅.⁵√̅2̅⁵̅i̅¹̅̅º̅.√̅3̅²̅i̅²̅

            2.i.2.i².3.i. = 12i⁴=12

 

10) Z=√3̅ - i  ise (z̅)‾¹ sayısının sanal kısmı nedir?

 

ÇÖZÜM:  z̅=√3̅+i dir.

        (z̅)‾¹ = 1/(√3̅+i) ⇒ (√3-i)/4  =√3̅/4 - i/4 olur

        yani im(z̅)‾¹ =-1/4 bulunur

 

9)      p(x) =x³+x-1 olduğuna göre P(√-̅4̅ ) işleminin sonucu nedir?

 

ÇÖZÜM:  √-̅4̅ =2i

P(2i) = (2i)³+2i-1= -8i+2i-1 = -1-6i dir.

 

10)  13+ [(2-3i)(3-2i)/i] =?

 

ÇÖZÜM:  13+ (6-4i-9i-6)/i  ⇒ 13+ (-13i)/i =13-13=0

 

11)  f(x,y) =2x +3y+3/x+2/y olduğuna göre f(i³,-i³) nedir?

 

ÇÖZÜM:  i³=-i ve –i³=-(-i) =i oluğundan

         F(i,-i) = 2(-i)+3i+3/-i +2/i

         = i+3i-2i=2i

 

12)  Z= x+yi o.ü. z̅ ,z nin eşleniğidir. (1-i)⁴.z̅=1+2i eşitliğini sağlayan z sayısının imajiner kısmı kaçtır?

 

ÇÖZÜM:  (1-i)⁴.z̅=1+2i ise  z̅ (1+2i)/4i²=1+2i/-4             

                  =1/4-1i/2 bulunur. z̅=-1/4-1i/2 eşitliğinden

                  z=-1/4 +i/2 bulunur.    İm(z)=1/2

 

13)  Z=x+yi o.ü. Z +|Z| =2+3i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının reel kısmı nedir?

 

ÇÖZÜM:  x+yi+√̅x̅²̅+̅y̅²̅= 2+3i

   X+√̅x̅²̅+̅y̅²̅=2 ve y=3 olmalıdır.

   X=-5/4 bulunur.

    Re(z) =-5/4

 

14) z=x+yi o.ü. 3z+2i=z̅-3 eşitliği veriliyor .|z| =?

 

 ÇÖZÜM:  3(x+yi)+2i=x-3i-yi

         3x=x-3   ve    3y +2 =-y

           x= -3/2  ve y=-1/2 bulunur.

           Z=-3/2-i/2 dir    |z|= √1̅0̅ / 2

 

15) [(1+i)(1-i)]⁸ + 8. [(1+√3̅i)/(1/√3̅i̅)] toplamı nedir?

 

 ÇÖZÜM:  [(1+2i-1)/(2]⁸ +8.[(-2+2√3̅i̅)/4]

          i⁸+8[(-1+√3̅i̅)/2] = 1-4+4√3̅i̅

          =-3+4√3̅i̅

18)  Z= x+yi karmaşık sayısının eşleniği z̅ dir                     

     (1-i).z̅ =1+3i eşitliğini sağlayan  z kar. Sayısının sanal kısmı nedir?

 

ÇÖZÜM:  z̅_x-yi     (1-i) .z̅ =1+3i

           z̅= (1+i+3i-3)/2   ⇒-1+2i  ise 

           z= -1-2i den im(z) = -2 olur.

 

19) A=√̅-̅6̅4̅ , B=√-̅1̅9̅6̅   , c=√̅-̅4̅9̅     olduğuna göre (A+B).C=?

 

ÇÖZÜM:  (√-̅6̅4̅+√̅̅-̅1̅9̅6̅) .√̅̅̅-̅̅4̅9̅̅

        (8i+14i).7i       ⇒   22i.7i    =154i² =-154

 

20) [(1+i)⁴+(1-i)⁴]/ [(1+i)⁴(1-i)⁴ =?

 

ÇÖZÜM:  [(1+2i-1)² + (1-2i-1)²]/2⁴

             (4i²+4i²)/2⁴ = [2³.(-1)]/2⁴ = -1/2 olur